In meinen 20 Island-Jahren war ich in diversen Konstellationen auch mal beim Arzt. "Konstellation" bedeutet dabei: mal als Touri, mal als in Island Registrierte, mal als in Island Registrierte mit isländischem Krankenversicherungsschutz", mal als Reiseleiterin mit einem erkrankten Gast.
Für die meisten dürfte der Fall "Touri" interessant sein und diesbezüglich kann ich auf aktuelle Zahlen aus 2022 verweisen. Grundsätzlich ist es so, dass du - wenn du in Island zum Arzt musst - eine Art Antrittsgebühr bezahlst. So wie vor vielen Jahren die 10 € in Dtl pro Quartal, nur dass du sie in Island bei jedem Arztbesuch zahlst. Es gab mal unterschiedliche Beträge für Menschen, die Mitglied im isl. Krankenversicherungssystem sind und für "Ausländer" - aber das scheint evtl. aufgehoben.
Mein Fall: Corona hatte mich heimgesucht, fette Symptome während einer Trekkingtour, Nachweis per Schnelltest, plötzliche Atemnot am Abend des Tags 4 ... "dezente" Panik, Arztbesuch um 22 Uhr (nach 20 min Ausharren in der Warteschleife, Telefonat mit dem "Arzt" und 40 min Wartezeit, bis er von einem anderen Patienten wieder zurück im Ort war).
Der Doc war locker und entspannt, wie ich das in Island kenne. Erstmal Bürokram. Mich fand er im System, da ich aus meinen Arbeitsaufenthalten bereits eine Kennitala habe. Für die meisten Touris muss so ne Art Pseudo-Kennitala (eine ID- Nummer) generiert werden. Am Ende meines Besuchs fragte ich nach den Kosten, da ich wusste, dass ich zumindest diese Arzt-Besuchs-Gebühr bezahlen müsste. Seine Antwort: "Ah, da bin ich so schlecht, das weiß ich immer nicht. Ich schreibe deine Telefonnummer auf und wenn du was bezahlen musst, rufen wir dich an." Für alles andere wurde die europäische Krankenversicherungskarte fotografiert (das ist meist die Rückseite der KV-Karte) + der Personalausweis.
Gestern, mehr als 3 Wochen nach dem Termin, kam der Anruf aus Island: "Du hast hier noch ne unbezahlte Rechnung." Bezahlen musste ich nur die 3.100 isk (da nach 16 Uhr) "admission fee": https://www.heilsugaeslan.is/um-hh/gjaldskra/ bzw. https://www.hsn.is/is/gjaldskra. Ratzifatzi unter Nennung der Kreditkarten-Nummer erledigt. Die Quittung und Rechnung gab es direkt im Anschluss per E-Mail. Name und Kennitala des behandelnden Artztes wurden mit ausgeweisen. Meiner entpuppte sich als Medizinstudent (mit späteren Recherchen: im 5. Jahr)

Ich erinnere mich an den Reitunfall eines Gastes vor diversen Jahren. Die musste neben dieser admission fee noch ein bisschen mehr bezahlen. Hängt halt immer davon ab, ob das, was sie vor Ort machen, quasi "Kasseneleistung" in Island ist oder nicht. Das hatten wir damals direkt im Krankenhaus in Akureyri gezahlt. Und auch andere Arztbesuche wurden direkt vor Ort in Rechnung gestellt und bezahlt. Lag im aktuellen Fall also eigentlich am "Doc".
Rezepte laufen übrigens über die Kennitala (die ihr dann ja bekommt). Ihr bekommt also keinen Schriebs, sondern geht zur nächsten Apotheke, nennt die Kennitala und bekommt die verordneten Medikamente. Bei mir war es dieses Mal eine Großpackung Paracetamol 500, die sich als 100er Packung entpuppte

Monique